قدرت اعداد و شگفتي ها

 قدرت اعداد

شايد «شارل فردريك گاوس» شاگرد با ذكاوت كلاس كه اين روش جالب را به كاربرد، آن هنگام نمي دانست، روش بسيار كارا و مفيدي را براي جمع بستن رشته اي از اعداد ارائه داده است كه تا ساليان سال مورد استفاده رياضيدانان خواهد بود.اكثر مفاهيم رياضي به قدري با زندگي روزمره ما گره خورده است كه تمام مردم بدون آگاهي داشتن و واقف بودن به آن، از كنارش مي گذرند و تنها كاربر خوبي هستند و بس! حتماً تا به حال با اين عبارات در راديو، تلويزيون يا موارد مختلف ديگر برخورد كرده ايد: «وزارت آب و يا وزارت نيرو اعلام كرده است كه ميزان پرداختي قبض ها به صورت تصاعدي بالا مي رود و از مصرف كنندگان تقاضا نمود كه نهايت صرفه جويي را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بيشتر موارد نيز از اينكه هزينه مصرف آب يا برق شما بسيار گران شده است گله مند و شاكي بوده ايد و بسيار تعجب كرده و يا شايد هم فكر كرد ه ايد كه اشتباهي رخ داده است! اما در واقع اين چنين نبوده است. بلكه اين وزارتخانه ها و جاهاي ديگر از اين قبيل با به كار بردن يك مفهوم ساده رياضي كه از روابط جالب بين اعداد نشات مي گيرد، تلاش نموده اند با اين روش اندكي از مصرف سرانه انرژي هاي مفيد در كشور بكاهند. بسياري از رشته هاي اعداد در رياضيات از قاعده و قانون خاصي پيروي مي كنند. بدين صورت كه مثلاً هر عدد نسبت به عدد قبلي خود به اندازه ثابتي كاهش يا افزايش مي يابد، به اين رشته از اعداد تصاعد «عددي» (حسابي) گويند. براي مثال در رشته اعداد ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳ و ... هر عدد نسبت به عدد قبلي خود سه واحد بيشتر است. حال رشته اي از اعداد را در نظر بگيريد كه در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان هايي از يك عدد ثابت افزايش يا كاهش يافته باشد. به اين رشته از اعداد تصاعد «هندسي» گويند.

براي مثال رشته اعداد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ و... را در نظر بگيريد. اگر كمي دقت كنيد متوجه مي شويد كه هر عدد نسبت به عدد قبلي خود، دو برابر شده است. به عبارت ديگر در اين رشته از اعداد با توان هايي از عدد ۲ و يا اعداد ديگر مواجه هستيم.

يعني :...و۲۴، ۳ ۲، ۲ ۲۲۱۲۰،، به ترتيب از چپ به راست مي شود ...و ۱۶، ۸، ۴، ۲۱،

اگر كمي حوصله كنيد و با ما همراه باشيد مثال ها و داستان هاي جالبي از خاصيت شگفت آور اين رشته از اعداد خواهيد خواند كه حتماً متعجب مي شويد.

در گذشته هاي دور، يكي از پادشاهان هندوستان به ازاي ياد دادن سرگرمي خوبي به او، جايزه بزرگي تعيين كرد. مي دانيد كه هندي ها در ابداع و اختراع روابط شگفت انگيز بين اعداد بسيار توانا هستند و تاريخچه بلندي در اين زمينه دارند. روزي يكي از همين دانشمندان متبحر كار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازي شطرنج را به او آموخت. كسي چه مي داند، شايد بازي شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد.اين مرد زيرك به ازاي سرگرمي خوبي كه به پادشاه آموخته بود از وي خواست تا به ازاي ۶۴ خانه شطرنج به او گندم دهد. بدين ترتيب كه از يك دانه گندم براي خانه اول آغاز كند و به هر خانه شطرنج كه رسيد تعداد دانه هاي گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزايش دهد. مثلاً براي روز چهارم پادشاه مي بايست تعداد ۱۶=۲۴ دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط كرد كه در صورت عدم توانايي پرداخت اين گندم ها از سوي پادشاه مي بايد تاج و تخت هندوستان را براي هميشه ترك كند. پادشاه نيز با كمال ميل پذيرفت و در دل به بي خردي آن ناشناس خنديد. مسلماً در روزهاي اول مشكلي وجود نداشت. اما مشكل اصلي از آنجا شروع مي شد كه اين اعداد به صورت شگفت آوري بزرگ مي شدند. در روز دهم تعداد ۱۰۲۴=۲۱۰ دانه گندم بايد پرداخت مي شد كه تعداد زيادي نيست. اما روز بيستم تعداد قابل ملاحظه اي مي شود يعني ۵۷۶/۰۴۸/۱=۲۲۰ دانه گندم. فكر مي كنيد وقتي كه به روز آخر يعني خانه شصت و چهارم برسيد چه اتفاقي بيفتد. درست حدس زده ايد پادشاه ما به ....=۲۶۴ دانه گندم نياز دارد كه اين تعداد گندم با تمام دانه هاي شن و ماسه موجود بر روي زمين برابري مي كند! در روزهاي آخر اين شرط تازه پادشاه هند متوجه شد كه چه كلاه بزرگي سرش رفته است اما چاره اي جز كناره گيري از تاج و تخت نبود!مثال هاي بسياري از اين دست موجود است كه به قدرت شگرف اعداد و بيشتر از آن به قدرت تفكر انسان هايي كه راه سود بردن از آن را بدانند • 

 

شگفتيهاي رياضي

امروز مي خوام يه معما و يكي از شگفتيهاي رياضي را مطرح كنم

 

معمای دروغگو

 

ريچارد یک دروغگو ی حرفه اي است او شش روز هفته دروغ ميگه و فقط يک روز از هفته است كه حرف راست مي زنه حالا شما با توجه به حرفاش بگيد اون چه روزي را راست ميگه؟

  روز اول: 

  من دوشنبه و سه شنبه دروغ مي گم

روز دوم:

امروز پنج شنبه يا شنبه يا يك شنبه است

روز سوم :

من چهار شنبه و جمعه دروغ مي گم

 

 

---

 

34² = 1156                                                            67² = 4489

 

334² =111556                                                           667² = 444889

 

3334² =11115556                                                          6667² = 44448889

33334² = 1111155556                                                   66667² = 4444488889والی آخر

 ادامه ي مطلب: حل مساله ومقاله ومعجزات قرآن و جامعه شناسي رياضي

ادامه نوشته

روش هاي صحيح مطالعه

 

مقدمه

آیا تاکنون به این موضوع فکر کرده‌اید که هنگام مطالعه از چه روشی استفاده می‌کنید؟ یک روش مطالعه صحیح و اصولی می‌تواند بسیاری از مشکلات تحصیلی را از بین ببرد. بررسیهای بعمل آمده گویای آن است که افرادی که در زمینه تحصیل موفق بوده‌اند، روش صحیحی برای مطالعه داشتند. یادگیری (learning) مسئله‌ای است که در سراسر طول زندگی انسان بویژه در دوران دانش آموزی و دانشجویی اهمیت زیادی دارد. چرا که دانش آموزان و دانشجویان همیشه در معرض امتحان و آزمون قرار دارند و موفقیت در آن آرزوی بزرگشان است.

شاید به افرادی برخورده باشید که می‌گویند:ادامه ي مطلب را كليك كنيد

 

ادامه نوشته

مقاله ای در باره ی آموزش ریاضی

 مقاله ای در باره ی آموزش ریاضی

« نوشته ای برای آنان که خواندن را دوست دارند » این عنوان مقاله ایست برگرفته از ماهنامه «دانش و مردم»، درباره آموزش ریاضی، که متن کامل آن را در زیر می بینید.

نوشته ای برای آنان که خواندن را دوست دارند

پرویز شهریاری

بشر برای این نیامده که کورکورانه و از روی نادانی کار کند، بلکه

باید پیوسته با آنچه نادرست است در جدال و با آنچه نارواست در

 جنگ باشد.

ژوزف ارنست رنان

 

روش آموزش امروزی، دو جنبه و يک هدف دارد. دو جنبه آن عبارت است از: روش يادگيری و روش ارزيابی. هدف آن، تربيت آدم­هايی است که بتوانند دشواری­های جامعه خود يا جامعه جهانی را حل کند. درباره روش ياد دادن سخنی نمی­گويم، چون همه از آن آگاهيم و با آن بزرگ شده­ايم و از نتيجه کم و بيش ناگوار آن هم، اطلاع داريم. روش ارزيابی و نحوه امتحان را هم می­شناسيم. تمام شرط­ها را برای ترس و نگرانی دانش­آموز فراهم می­کنيم و بعد در يک جلسه کوتاه، زير فشار روحی بی­اندازه­ای، (دانش) او را (ارزيابی) می­کنيم. من به نادرستی اين روش، که به نظرم از بيخ و بن نادرست است، نمی­پردازم و تنها به چند نکته جانبی آن اشاره می­کنم.

زمانی که با يکی از همکارانم که حاضر نبود با افزودن تنها يک نمره، دانش­آموزی را از (مردودی) نجات دهد، صحبت می­کردم، به او که به دقت امتحان خود اطمينان داشت گفتم: اگر همين امروز، يک بار ديگر از دانش­آموزانت امتحان بگيری و پرسش­ها را هم، تا حد همان پرسش­های بار اول قرار دهی، آيا می­توانی با اطمينان بگويی که همه آن­ها، همين نمره را خواهند گرفت؟ به طور طبيعی پاسخ او منفی بود. گفتم: اگر برای نمونه، يک هفته ديگر به دانش­آموزانت وقت بدهی و بعد امتحان بگيری، چطور؟ باز معلوم بود که نمره­ها تغيير می­کند. گفتم: راه­حل ساده­تری انتخاب می­کنيم، نه امتحان تازه­ای لازم است، نه دقت بيشتری. برای دانش­آموزان، همين ورقه­ها را، با تغيير ميزان نمره­ای که به هر پرسش داده­ای، دوباره تصحيح کن، از آنجا که ارزش هر پرسش را خودت معين کرده­ای، می­توانی به صورت ديگری آن­را تغيير دهی، آن وقت چه خواهد شد؟ روشن بود که باز هم نمره­ها تغيير می­کردند. گفتم: اگر با همين پرسش­ها و همين بارم، ورقه­ها را چند ماه ديگر، خودت تصحيح کنی، به شرطی که نمره­های امروز را فراموش کرده باشی، با تفاوت احتمالی که در روحيه امروز و آن روزِ تو به وجود می­آيد، آيا مطمئنی همين نمره­ها را، روی ورقه­ها بگذاری؟ در اينجا هم پاسخ منفی بود.

فایده خواندن ریاضی

فایده خواندن ریاضی

هر قدر سطح علمی انسان بیشتر باشد فواید ریاضیات را بیشتر لمس کرده و از آن بهره بیشتری می برد، مثلاَ کسی که تا پایان دوران ابتدایی تحصیل کرده در همان سطح توانایی بهره گیری از ریاضیات را دارد، مگر آن هایی که تجربه های جدید علمی به تجربه های خود افزوده باشند؛ همین طور وقتی تحصیلات کسی تا پایان دوره راهنمایی است اولاَ بهره گیری او از ریاضیات بیشتر از کسی است که سواد ابتدایی دارد؛ ثانیاَ تا همان سطح تحصیلات خود از ریاضیات بهره می برد و الی آخر، لذا هر قدر سطح علمی انسانها بیشتر شود بهره ی بیشتری از ریاضیات عاید آنان می شود و دیدگاه وسیع تری نسبت به علم ریاضیات پیدا می کند و کاربردهای ریاضی را در عرصه علم ، تجربه و نوآوری بیشتر مشاهده می کند و نیاز به ریاضی را بیشتر احساس میکند؛ البته این مطلب بعد از پایان دوران عمومی تحصیلات، آنجا که علم به شاخه های مختلف تقسیم می شود به اندازه نیازی که شاخه علمی به ریاضیات دارد از ریاضیات بهره می برد.به عنوان مثال، علوم مهندسی بیشتر از سایر علوم با ریاضیات مانوس هستند و لذا بهره بیشتری از ریاضیات می برند و امروزه ثابت شده است که همه علوم حتی علوم پزشکی، ادبیات، معارف اسلامی قصد دارند که کارهای علمی خود را همچون ریاضیات قانونمند کرده یا ریاضی وار بیان کنند. به عبارت دیگر وقتی پزشکی عمل جراحی خود را به کمک رایانه در اطاق عمل یا در خارج ازکشور کنترل می کند و انجام میدهد در واقع استفاده تمام عیاری از ریاضیات کرده است یا وقتی شاعری کلمات و حروف را از بین دنیایی از حروف و کلمات انتخاب می کند و آن را به صورت شعر یا نظم در می آورد در واقع از ریاضیات در قالب اوزان شعری بهره گرفته که تحت عنوان عروض مطرح است یا وقتی فقیهی در مورد مسأله ای اجتهاد می کند یعنی مسأله ای را با مفروضات دینی و شرایط مقتضیات زمان فتوا می دهد، این نتیجه گیری در واقع روی اصول ریاضی است.

به طور کلی کسی که با توجه به شرایط موجود و پیش آمده بهترین تصمیم را در عرصه کار، مدیریت و زندگی می گیرد آن را بر اساس تفکر و استدلال منطقی انجام می دهد و استنتاج خوب هم به وسیله انسانهایی انجام می گیرد که توانایی خوب اندیشیدن و خوب فکر کردن را دارند؛ از آنجایی که در پیچ و خم های کارهای اداری، مسئولیتی،مدیریت، زندگی، گردونه ها و دو راهی ها صاحب فکر باشیم، خوب فکر کنیم، همه اوضاع را با همه زیروبم هایش ببینیم و سپس با استفاده از تجارب خود و تجارب دیگران، بهترین تصمیم را گرفته و مجدداَ آن را کنترل و بررسی کرده و سپس بهترین نتیجه را با کمترین زمان و هزینه بگیریم. گفتنی است که ریاضی علمی پویا و پیوسته در تکامل است از آنجایی که جهت متکامل شدن راهی به درازی کهکشانها را باید طی نمود. لذا چنانچه بخواهید با فواید و کاربرد ریاضی بیشتر ملموس شوید در یکی از رشته های مربوط ادامه تحصیل دهید تا با فایده و کاربرد آن افزودن بر آنچه شمردیم آشنا شوید اگر چه ریاضیات پایه و ستون همه علوم است اما ادعا بر این نیست که ریاضیات بر علوم دیگر رجحان دارد بلکه ادعای دانشمندان بر این است که علوم دیگر ثمره و میوه ریاضیات اند و ریاضیات هم میوه ناب آنها.

مقاله ای از پرویز شهریاری درباره آموزش ریاضی

آموزش یاضی

روش آموزش امروزی، دو جنبه و یک هدف دارد. دو جنبه آن عبارت است از: روش یادگیری و روش ارزیابی. هدف آن، تربیت آدم­هایی است که بتوانند دشواری­های جامعه خود یا جامعه جهانی را حل کند. درباره روش یاد دادن سخنی نمی­گویم، چون همه از آن آگاهیم و با آن بزرگ شده­ایم و از نتیجه کم و بیش ناگوار آن هم، اطلاع داریم. روش ارزیابی و نحوه امتحان را هم می­شناسیم. تمام شرط­ها را برای ترس و نگرانی دانش­آموز فراهم می­کنیم و بعد در یک جلسه کوتاه، زیر فشار روحی بی­اندازه­ای، (دانش) او را (ارزیابی) می­کنیم. من به نادرستی این روش، که به نظرم از بیخ و بن نادرست است، نمی­پردازم و تنها به چند نکته جانبی آن اشاره می­کنم.

زمانی که با یکی از همکارانم که حاضر نبود با افزودن تنها یک نمره، دانش­آموزی را از (مردودی) نجات دهد، صحبت می­کردم، به او که به دقت امتحان خود اطمینان داشت گفتم: اگر همین امروز، یک بار دیگر از دانش­آموزانت امتحان بگیری و پرسش­ها را هم، تا حد همان پرسش­های بار اول قرار دهی، آیا می­توانی با اطمینان بگویی که همه آن­ها، همین نمره را خواهند گرفت؟ به طور طبیعی پاسخ او منفی بود. گفتم: اگر برای نمونه، یک هفته دیگر به دانش­آموزانت وقت بدهی و بعد امتحان بگیری، چطور؟ باز معلوم بود که نمره­ها تغییر می­کند. گفتم: راه­حل ساده­تری انتخاب می­کنیم، نه امتحان تازه­ای لازم است، نه دقت بیشتری. برای دانش­آموزان، همین ورقه­ها را، با تغییر میزان نمره­ای که به هر پرسش داده­ای، دوباره تصحیح کن، از آنجا که ارزش هر پرسش را خودت معین کرده­ای، می­توانی به صورت دیگری آن­را تغییر دهی، آن وقت چه خواهد شد؟ روشن بود که باز هم نمره­ها تغییر می­کردند. گفتم: اگر با همین پرسش­ها و همین بارم، ورقه­ها را چند ماه دیگر، خودت تصحیح کنی، به شرطی که نمره­های امروز را فراموش کرده باشی، با تفاوت احتمالی که در روحیه امروز و آن روزِ تو به وجود می­آید، آیا مطمئنی همین نمره­ها را، روی ورقه­ها بگذاری؟ در اینجا هم پاسخ منفی بود.

خوب، این چگونه ارزشیابی است که با تغییر هر عاملِ کوچک آنف بدون اینکه در (دانش) فرد مورد آزمایش تغییری پیش آید، نتیجه را دگرگون می­کند؟ گمان می­کنم همین چند جمله، برای بی­ارزش بودن اینگونه ارزشیابی کافی باشد.

سال­ها پیش، در یکی از دبیرستان­ها، دانش­آموزی داشتم که مرا به شگفتی می­انداخت. هر وقت در کلاس چیزی از او می­پرسیدم، با اطمینان و قدرت کافی پاسخ می­داد. ولی برگ­های امتحانی او، همیشه از متوسط هم اندکی پایین­تر بود. تصمیم گرفتم، در یکی از جلسه­های امتحان، بدون اینکه خود او متوجه شود، مراقب کار او باشم، او پیش از اینکه امتحان آغاز شود، روی مسئله­ای که به ظاهر، ذهن او را به خود مشغول داشته بود، کار می­کردچنان در خود فرو رفته بود که متوجه پخش پرسش­های امتحانی نشد. من هشداری به او ندادم. بیش از یک ساعت از وقت امتحان گذشت و او همچنان به کار خود مشغول بود. من تاب نیاوردم و به او اعلام کردم که روز امتحان است و وقت دارد تمام می­شود. با ناراحتی نگاهی به پرسش­ها کرد. قلم را روی کاغذ گذاشت و آغاز به نوشتن کرد، بعد از نیم ساعت بلند شد و برگ امتحانی را تحویل داد و رفت. نمره امتحانی او، مانند همیشه درخشان نبود. ولی من متوجه شدم، او از آن­هایی است که به راه فکری خود بیشتر اهمیت می­دهد تا نمره­ای که در کارنامه­اش بیاید. این دانش­آموز به سفارش من، و بر خلاف سفارش دیگران، رشته­ ریاضی را دنبال کرد و امروز یکی از صاحب­نظران در رشته ریاضی است و در یکی از معتبرترین دانشگاه­های جهان، به تدریس و تحقیق در ریاضیات مشغول است.

چه باید کرد؟ بی تردید من نمی­توانم نسخه­ای شفابخش ارائه کنم. من که عمری معلم بوده­ام و کم و بیش با شیوه مرسوم، تدریس کرده­ام، درد را بهتر می­شناسم تا درمان را، درباره موضوع به این پیچیدگی چون آموزش، نباید منتظر بود، نسخه­ای فوری و قطعی پیدا شود. آنچه در اینجا می­گویم و نتیجه­ای از تجربه معلمی من است، تنها می­تواند نوعی مسکن تلقی شود، من از دو سفارش و یک پیشنهاد سخن خواهم گفت:

نحوه مطالعه ریاضی

فراگیری ریاضیات را می توان به دو بخش کلی تقسیم کرد . این دو بخش عبارتند از :

1) درک مفاهیم و نحوه استدلال ریاضی
2) تمرین و بکار بردن این مفاهیم

ریاضیات مجموعه ای از مفاهیم است که همگی در ذهن ما بوده و به صورت اشیاء مادی وجود خارجی ندارند . به عنوان مثال صفحه و نقطه خود اشیاء مادی نیستند بلکه تصوراتی هستند از اشیایی که مانند یک تکه کاغذ ، پهن و یا مانند سر سوزن یا نوک مداد ، تیز می باشند .

یک معلم باتجربه ، شرایط یادگیری را طوری فراهم می کند که دانش آموز بتواند مفاهیم ریاضی را عمیقاً دریابد و به کار ببرد ، با این وجود این دانش آموز است که باید بیاموزد و تا زمانی که خود او برای آموختن فعال نباشد و با علاقه و انگیزه تلاش نکند ، هیچ معلمی تمی تواند ، نه تنها ریاضیات بلکه هیچ علمی دیگر را در مغز او فرو کند .
اولین مانعی که بر سر راه شما در فراگیری ریاضیات وجود دارد و باید برای برداشتن آن اقدام کنید ذهنیت منفی است که در اغلب دانش آموزان نسبت به ریاضیات وجود دارد . بسیاری از دانش آموزان معتقدند که فراگیری ریاضیات به صورت گسترده ای که در دبیرستان های ما تدریس می شود کاری بیهوده و غیرضروری است .
توجه داشته باشید که اگر موضوعی از دید فراگیرنده سودبخش و کاربردی باشد ، یادگیری آن آسانتر و سریعتر خواهد بود . بنابراین بیندیشید و تا جائیکه می توانید کاربردهای ریاضیاتی را که می آموزید پیدا کنید به این منظور از کتابهای مختلف و معلمینتان کمک بگیرید ( لازم نیست وارد جزئیات بشوید ، همان کاربردهای کلی کافیست ) .
مشکل بعدی دانش آموزان در فراگیری ریاضایت این است که اکثراً خود را متقاعد کرده اند که توانایی فراگیری ریاضیات را ندارند .
برای این دوستان بهتر آن است که ابتدا با ریاضیاتی شروع کنند که اموختن آن برایشان ساده تر است و بعد به تدریج به سراغ مفاهیم پیچیده تر بروند . این شیوه موجب می شود که تجربیات موفقیت آمیزی در ریاضی کسب کنند و به ادامه کار تشویق شوند . چرا که به تجربه ثابت شده هیچ چیز به اندازه موفقیت لذت بخش و دلگرم کننده نیست .

نحوه آموختن ریاضیات

به عنوان اولین قدم در آموختن ریاضیات سعی کنید مفاهیم هر درس کتاب خود را به خوبی درک کنید . برای درک بهتر مفاهیم حضور با تمرکز شما در کلاس و توجه کامل به توضیحات معلم ضروری است .
چنانچه در ریاضیات پایه ضعفی دارید و مفاهیم کتابهای ریاضی سالهای قبل خود را به خوبی در نیافته و یا کاربرد آنها را نیاموخته اید ، پیشنهاد ما این است که یک بار دیگر کتابهای ریاضی سالهای قبل خود را به دقت مطالعه نموده و تمرینهای آنها را حل کنید .
نکته مهم بعدی آن است کسی که می خواهد ریاضیات را به خوبی فرا بگیرد باید یک فراگیرنده فعال باشد نه اینکه با حالت تسلیم و منفعل اطلاعاتی راجع به آن کسب کند ، بدون آنکه برای کسب این اطلاعات هیچ فعالیتی نشان داده باشد .
یک فراگیرنده ریاضی نباید یک شنونده محض باشد . بلکه در موقعیتهای مناسب سؤالهایی را که به ذهنش می رسد بپرسد ، در بحثهایی که در کلاس مطرح می شود شرکت داشته باشد ، و به سؤالهایی که مطرح می شود پاسخ بدهد ، حتی اگر به پاسخهای خود اطمینان صد در صد و کامل نداشته باشد .
برای آموختن ریاضیات خود را تنها به حضور در کلاس و آموختن از طریق معلم محدود نکنید . بلکه از روشهای دیگر که در اختیار دارید مانند استفاده از کتاب ، فیلم و سایر ابزارهای آموزشی نیز بهره بگیرید .
* کار یادداشت برداری در دفترچه یادداشت و یا نوشتن مطالب مهم در حواشی کتاب در اینجا بسیار لازمتر و مهم تر از کتابهای دیگر است .
در یادداشت برداری از کتابهای ریاضی سعی کنید مطالب را آنگونه نظم ببخشید که خودتان فهمیده اید و بر ارتباط بین مطالب در یادداشت هایتان دقت و توجه خاص داشته باشید . چنانچه مطلبی که مطالعه می کنید شکلی خاص داشت ، می توانید نمونه شکل را در کنار یادداشت هایتان بکشید .
پس از یادداشت برداری ، کل مطلب را یکبار به طور کامل و دقیق با همه جزئیات برای دیگران تعریف کنید . برای تعریف می توانید از یادداشت هایتان استفاده کنید .

 

راهنمایی حل مساله

کار مداوم و باپیگیری

برای حل یک مساله ریاضی (اگر مضمونی تازه داشته باشد و در ردیف تمرین‌های ساده پایان درس نباشد) نمی‌توان روش یا روشهای کلی پیدا کرد. بنابراین، چاره‌ای جز این نداریم که با تکیه بر تجربه زندگی ، آگاهی علمی ، مقایسه و تجزیه و تحلیل راههای گوناگون و در هر حال ، به کارگرفتن اندیشه ، خود و استعداد خود ، مسیر بهینه را بیابیم. برای حل مساله‌های ریاضی هم باید از همین راه رفت و نباید منتظر "دستورها" و "نسخه‌های شفابخش" بود. چنین دستورها و نسخه‌هایی که بتوان به یاری آنها ، از عهده حل هر مساله برآمده وجود ندارند. با همه اینها ، می‌توان، از راهنمایی‌هایی سود برد. بویژه ، برای کسانی که بطور دایم و مستمر با حل مساله سروکار دارند، این راهنمایی‌ها و توصیه‌ها می‌تواند سودمند باشد.

 

ضمن برخورد با یک مساله ، به نکته‌ای توجه داشته باشید: اگر با مساله‌ای جدی و ناآشنا روبرو هستید، منتظر موقعیت سریع نباشید، از میدان در نرود و خیلی زود ناامید نشوید. گاهی برای رسیدن به راه حل درست و منطقی ، لازم است مدتها روی یک مساله کار کنید؛ در آغاز حالنهای خاص و ساده را بررسی کنید، مساله‌های کم و بیش ساده را به یاد آورید و راهها و روشهای گوناگون را بکار بگیرید. در اینصورت ، اگر هم سرانجام نتوانید مساله را حل کنید، نگران نشوید. همین که مدتها روی یک مساله اندیشیده‌اید و از جانب‌های مختلف به آن حمله کرده‌اید، می‌تواند در رشد ذهن ریاضی شما تاثیری جدی داشته باشد. برای شما خیلی سودمندتر از آن است که حل دهها مساله را از روی کتابهای حل مساله ببینید و یا راه‌حل آنها را ، پیش از آن که توان خود را آزموده باشید، از دیگران بپرسید. برای اینکه در حل مساله‌های ریاضی کارآمد باشید، تا آنجا که ممکن است، عصاها و دستگیره‌هایی ، مثل کتابهای حل مساله و دبیر خصوصی را کنار بگذارید، تلاش کنید، روی پای خودتان بایستید و از ذهن و آگاهی‌های خودتان بهره ببرید. وقتی با عصا راه بروید و یا همیشه دستتان به "نرده" راهنما باشد، آن وقت با جداشدن از عصا و نرده ، به زمین می‌خورید.

کار گروهی

اندیشه آدمی و به ویژه اندیشه علمی ، دربرخورد اندیشه‌های دیگر ، شکل می‌گیرد و تکامل می‌یابد، اندیشه فردی ، هر قدر خلاق و مستعد باشد، اگر در انزوا قرار گیرد، بتدریج فرسوده می‌شود و توان خود را از دست می‌دهد. و یکی از راههای برخورد اندیشه‌ها ، کار گروهی است. متاسفانه دانش‌آموزان ، به خاطر رقابت ، از همکاری و همراهی با دیگران دوری می‌گزینند، یاری به دیگران را به زیان خود می‌بیند و ریشه تعاون اجتماعی را می‌خشکاند. آن که از نظر درسی جلوتر است، مغرور می‌شود. خود را تافته جدا بافته‌ای تصور می‌کنند و مستقیم یا غیرمستقیم ، همسالان خود با دیده حقارت می‌نگرد؛ و آن که در درسها ضعیف‌تر است، همه جا با بن بست مواجه می‌شود و نه تنها از طرف معلم و پدر و مادر ، که از جانب همسالان خود هم ، آزار روحی می‌بیند. بنابراین وجود روحیه همکاری و تعاون در بین دانش‌آموزان می‌تواند در پیشرفت درسی آنها موثر باشد. مثلا وجود تک نابغه‌هایی مثل ابوریحان بیرونی ، برای تکان دادن دنیای خود و برای تندکردن حرکت دانش ، موثر بودند، گرچه حتی ابوریحان بیرونی هم برای کار گروهی و تبادل اندیشه‌های علمی ارزش قایل بود، او با ابن‌سینا مکاتبه داشت و ضمن نامه‌های خود ، در زمینه‌های گوناگون و بویژه فلسفه بحث می‌کرد.

وظایف والدین در تربیت و پرورش مذهبی کودکان

والدین و كودك
والدین نخستین مسئول صلاح وفساد جامعه اند و آنان را در قبال خدا و اجتماع مسئولیتی عظیم است كه سهل انگاری در آن قطعاً عقوبتی به همراه خواهد داشت. در این امر عظیم مادر را بیش از پدر مسئولیت است زیرا كودك بخش اعظم روحیات و مخصوصاً جنبه های عاطفی و احساسی را از مادر فرا می گیرد. در حدیثی از معصوم آمده است كه، پایه های سعادت و شقاوت كودك در رحم مادر گذارده می شود واین از آن باب است كه تغییر وراثت غیر ممكن است و خصایص و روحیات مادر به صورت مستقیم به كودك منتقل می شود. همچنین در حدیث آمده كه بهشت زیر پای مادران است و این از آن باب است كه بخش اعظم سعادتمندی و در خور بهشت شدن كودك توسط مادر پایه گذاری می شود. والدین شخصیت كودك را رنگ می دهند، خط مشی و رفتار او را در زندگی معین می كنند و براساس روش تربیتی خود كودكی آرام و یا نامتعادل می پروانند. درست است كه بلوغ و رشد جسمی زمینه را برای ازدواج فراهم می كند، اما برای پدر و مادر شدن، زمینه رشد عقلی و اخلاقی و عاطفی لازم است. افراد قبل از ازدواج باید به وظایف خود آشنا، و به مسائل كلی تربیت آگاه، و در قبال مسئولیت خود هوشیار باشند. تربیت كودك اگر چه به ظاهر از بدو تولد او آغاز می شود ولی با در نظر داشتن تأثیر جنبه های وراثتی در واقع سالها و ماهها قبل از تولد شروع می شود و اَقـّل تقویم زمانی از هنگام انتخاب همسراست و اسلام از این زمان به بعد گام به گام برای ایجاد و پرورش نسل مراقبت هایی دارد كه دستورات و برنامه های آن را در كتب فقهی و اخلاقی اسلام می توان یافت ،از جمله:

معجزه های ریاضی و عددی در قرآن

 

دکتر (رشادخلیفه)دانشمند مسلمان مصری با کمک عده ای از مسلمانان متخصص و صرف وقت بسیار تحقیقات گسترده ای را در نظم ریاضی کاربرد حروف و کلمات در قرآن شروع نموده و با الهام از آیات ۱۱تا ۳۱ سوره مدثر که عدد۱۹ را کلید رمز اعجاز آمیز قرآن وآسمانی بودن آن معرفی میکنند به کمک عدد۱۹ توانست رمز نظم ریاضی حیرت انگیز و اعجاز آمیز حاکم بر حروف قرآنی را کشف نماید.

خواست خدای توانا بوده است که این نظم پیچ در پیچ عددی قرآن مخفی نماند تا تایپ شود که سرچشمه غیبی قرآن از جانب خداوند متعال است و نیز در عرض گذشت قرون بوسیله ذات او محافظت میشده و از گزند تغییر افزایش یا کاهش در امان مانده است. رمزهای اعجاز آمیز قرآن منحصرا از این قراراند:

۱ـاولین آیه قرآن"بسم الله الرحمن الرحیم" دارای ۱۹ حرف عربی است.

۲ـ قرآن مجید  از ۱۱۴ سوره تشکیل شده است و این عدد به ۱۹  قابل قسمت است.(۶*۱۹)

۳ـاولین سوره ای که نازل شده است سوره علق (شماره۹۶) نوزدهمین سوره از آخر قرآن است.

۴ـ سوره علق ۱۹ آیه دارد.

۵ـ سوره ی علق ۲۸۵ حرف(۱۵*۱۹) دارد.

۶ـاولین بار که جبرئیل امین با قرآن فرود آمد ۵ آیه اولی سوره علق را آورد که شامل ۱۹ کلمه است.

۷ـاین ۱۹ کلمه ۷۶ حرف(۴*۱۹)دارد که به تعداد حروف بسم الله الرحمن الرحیم است.

۸ـ دومین باری که جبرئیل امین فرود آمد ۹ آیه اولی سوره قلم(شماره۶۸)را آورده که شامل ۳۸کلمه است (۲*۱۹).

۹ـ سومین باری که جبرئیل امین فرود آمد ۱۰ آیه اولی سوره مزمل(شماره۷۳)را آورد که شامل ۵۷ کلمه است. (۳*۱۹).

۱۰ـ چهارمین بار که جبرئیل فرود آمد ۳۰ آیه اولی سوره مدثر(شماره۷۴) را آورد که آخرین آیه آن "بر آن دوزخ ۱۹فرشته موکلند" می باشد.(آیه ۳۰).

۱۱ـ پنجمین بار که جبرئیل فرود آمد اولین سوره کامل "فاتحه الکتاب" را آورد که با اولین بیانیه قرآن بسم الله الرحمن الرحیم (۱۹حرف) آغاز میشود. این بیانیه ۱۹ حرفی بالفاصله بعد از نزول آیه " بر آن دوزخ ۱۹ فرشته موکلند" نازل شد. این مراتب گواهی ارتباط آری از شبه آیه ۳۰ سوره مدثر(عدد۱۹) و اولین بیانیه قرآن بسم الله الرحمن الرحیم (عدد۱۹) با سیستم اعدای اعجاز آمیز است که بر ۱۹ بنا نهاده شده است.

۱۲ـ آفریننده ذوالجلال و عظیم الشان با آیه ۳۱ سوره مدثر به ما یاد میدهد که چرا عدد ۱۹ را انتخاب کرده است.پنج دلیل زیر را بیان میفرماید:

الف)بی ایمان را آشفته سازد .

ب)به خوبان یهود و نصارا اطمینان دهد که قرآن آسمانی است .

ج)ایمان مومنان را تقویت نماید.

د)تا هر گونه اثر شک و تردید را از دل مسلمانان و خوبان یهودیت و مسحیت بزداید.

ه)تا منافقیت و کفار را که ساستم اعدادی قرآن را قبول ندارند رسوا سازد.

۱۳ـآفریننده به ما می آموزد که این نظم اعدادی قرآن تذکری به تمام جهانیان است (آیه ۳۱ سوره مدثر)و یکی از معجزات عظیم قرآن است (آیه ۳۵).

۱۴ـ هر کلمه از جمله آغازیه قرآن بسم الله الرحمن الرحیم در تمام قرآن به نحوی تکرار شده که به عدد ۱۹ قابل تقسیم است بدین ترتیب که کلمه "اسم"۱۹ بار کلمه"الله"۲۶۹۸بار (۴۲*۱۹)کلمه "الرحمن"۵۷ بار (۳*۱۹) و کلمه"الرحیم "۱۱۴ بار (۶*۱۹) دیده می شود .

فرمول مساحت مثلث را کشف کنید

در این درس، فرمولی برای مساحت مثلث به دست خواهد آمد. دانش آموزان مساحت مستطیل و مربع را محاسبه می کنند و آن ها را با مساحت مثلث هایی که در این شکل ها می توان یافت، مقایسه می کنند.

 

اهداف

• محاسبه مساحت مستطیل و مربع
• بدست آوردن فرمولی برای مساحت مثلث
• استفاده از فرمول مساحت برای محاسبه مساحت مثلث و یا یافتن یکی از اندازه ها

 

وسایل لازم

• خط کش
• قیچی
• ماشین حساب
• برگه ی فعالیت "مربع ها و مستطیل ها"
• فعالیت کامپیوتری "مساحت مثلث ها"
• برگه ی فعالیت "مثلث های غیر مشخص"
• اسلاید "نقشه مثلث برمودا"

 

طرح درس

قبل از این درس، لازم است دانش آموزان اندازه گیری ابعاد و محاسبه مساحت مستطیل و مربع را آموزش دیده باشند. برای آمادگی بیشتر، از بچه ها بخواهید تا دست کم اندازه های یک مربع و مستطیل را که در کلاس درس می بینند به دست آورند، ابعاد آن ها را یادداشت کنند و مساحت هر یک را حساب کنند. به عنوان مثال آن ها می توانند مساحت کاشی های کف کلاس، پنجره ، تخته سیاه، یا تابلو اعلانات کلاس، سطح روی میزها یا قفسه ها و را به دست آورند. بچه ها را تشویق کنید تا آن جا که می توانند مساحت شکل های گوناگون را حساب کنند و نتایج کار خود را در کلاس اعلام کنند.

دانش آموزان را به گروه های سه نفره تقسیم کنید و هر سه نفر در فعالیت گروه مسئول هستند، ولی می توانید وظایف زیر را برای هر کدام تعریف کنید:

1. مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
2. مسئول محاسبات: تایید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
3. مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

برگه ی فعالیت "مربع ها و مستطیل ها" را بین بچه ها پخش کنید. هر عضو گروه باید ابعاد همه شکل های روی برگه ی فعالیت را اندازه بگیرد و مساحت آن ها را محاسبه کند. به آن ها فرصت دهید تا قبل از ادامه کار، پاسخ ها و اندازه های خود را با اعضای گروه خود مقایسه کنند.

 

برگه ی فعالیت مربع ها و مستطیل ها

اگر لازم است، فرمول مساحت مستطیل را یادآوری کنید: عرض × طول = مساحت مستطیل(S=b*h).

سپس دانش آموزان باید با استفاده از خط کش یکی از قطرهای شکل های A و B و C را رسم کنند و هر شکل را از روی قطر آن با قیچی ببرند تا به دو قسمت تقسیم شود. بعد در هر گروه مساحت مثلث های به وجود آمده را تخمین بزنند. آن ها می توانند این کار را به هر روش که می خواهند انجام دهند. یک روش آن است که تعداد مربع های موجود در هر شکل را بشمارند و مربع های نصف یا خرد شده را نیز با هم بشمارند تا مربع کامل حساب شود. روش دیگر برای درک این موضوع این است که هر مثلث، مساحتی برابر با نصف مساحت شکل اصلی دارد (دانش آموزن می توانند این موضوع را با قراردادن نیمه دیگر روی آن ببینند). نتایج کار را در کل کلاس به بحث بگذارید.

 

آشنایی با نظام های آموزش و پرورش شش کشور دنیا

نتایج حاصل از سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم و تکرار آن که توسط انجمن بین المللی ارزش یابی پیشرفت تحصیلی(IEA) برگزار شد، نشان داد که عملکرد دانش آموزان ایرانی نسبت به عملکرد دانش آموزان سایر کشورهای جهان، بسیار ضعیف است و با متوسط جهانی، فاصله زیادی دارد .این مطالعه، مهم ترین و بزرگ ترین مطالعه این انجمن در دهه 90 بود و نزدیک به 41 کشور عضو انجمن، در این مطالعه (TIMSS) شرکت داشتند . طبیعی است که همه کسانی که به نحوی با آموزش ریاضی در ارتباط هستند، در پی کسب این نتایج ضعیف، به جستجوی علل این نتیجه غیر منتظره پرداختند. شاهد این ادعا، برگزاری همایش علمی – پژوهشی آموزش ریاضی و علوم با تاکید بر یافته های تیمز (TIMSS) در روزهای 10 و 11 آذر 1378 در دانشگاه تربیت مدرس است و نوشتن چند پایان نامه در رابطه با تیمز. اگر چه تعداد پایان نامه ها یی که در این زمینه نوشته شده اند بسیار کم هستند، ولی این مورد از اهمیت موضوع کم نمی کند و شاید یکی از دلایل نبودن پژوهش های بیشتر در این زمینه، عدم وجود رشته آموزش ریاضی تا قبل از سال 1380 باشد. به هر حال، باید در جستجوی روش هایی برای ارتقای سطح سواد عمومی ریاضی در کشور بود. البته این روشها باید براساس کارهای پژوهشی اصیل باشند تا نتیجه های مناسب را برای آموزش عمومی کشور به همراه داشته باشند . به گفته گویا  در تحولات آموزشی، حداقل ده سال تلاش مستمر و همگانی لازم است تا نتایج مطلوب حاصل شوند. بنابراین، برای ایجاد تغییرات مناسب و مفید در آموزش و پرورش ، باید وقت لازم را برای آن صرف کرد.

بسیاری از معلمان و بعضی از معلمان ریاضی، علت این نتایج ضعیف را ناشی از کمبودهای نظام آموزشی، شلوغ بودن کلاس ها، متمرکزبودن نظام آموزشی و غیره می دانند، در حالی که عوامل زیادی را نادیده می گیرند. در این مقاله سعی شده است تا ساختار آموزش و پرورش چند کشور دنیا که خصوصیات ویژه ای دارند ، مورد بحث و بررسی قرار گیرد تا این شبهه، که علت این ضعف در عملکرد، تنها به کمبود های کلاس درس بر نمی گردد ، بلکه به عواملی مانند نحوه ارزش یابی ، نحوه تدریس و غیره نیز بستگی دارد، رفع شود. در دنباله این مقاله، شش کشور مختلف از قاره های متفاوت جهان و با نظام های آموزشی متنوع از قبیل متمرکز و نیمه متمرکز، انتخاب شده اند، تا شاید بتوانیم ضمن آشنایی با آن ها و چگونگی برنامه ریزی درسی شان، از روش هایی که موجب موفقیت یا شکست آن ها شده است، تجربه کسب کنیم. برای این منظور ، کشورهای سنگاپور، کره جنوبی و ژاپن، که هم در مطالعه تیمز و هم در مطالعه تکرار تیمز، عملکرد بسیار خوبی نسبت به سایر کشورهای جهان داشتند، و نیز کشورهای انگلستان و کانادا که از جمله کشورهای صنعتی هستند که نتایج خوبی در این مطالعه نداشتند ، انتخاب شده اند. لازم به ذکر است که کشور کره جنوبی، برنامه های پنج ساله توسعه را هم زمان با ایران شروع کرده و کلاس های درسی کشور کره جنوبی، هم چون کلاسهای درسی ایران، از نظر تعداد دانش آموز شلوغ است و حتی در بعضی موارد، شلوغ تر نیز میباشد.

 

آموختن دانش
پیامبر اکرم (صلّی‌ ‌الله‌ عليه‌ وآله):
ما مِن مُتَعَلِّمٍ یَختَلِفُ إلی بابِ العالِمِ إلّا کَتَبَ اللهُ لَهُ بِکُلِّ قَدَمٍ عِبادَةَ سَنَةٍ.
هیچ دانش آموزی نیست که به در خانۀ دانشمندی آمد و شد کند, مگر این که خداوند برای هر گامی که برمی دارد عبادت یک سال را برایش رقم زند.

                                       

به روش مشابه، دانش آموزان باید مساحت بزرگترین مثلث به وجود آمده در شکل D را که مانند شکل زیر به 3 قسمت تقسیم شده است، به دست آورند. همان طور که برای شکل های A و B و C انجام شد، دانش آموزان می توانند مساحت این مثلث را با شمردن مربع ها تخمین بزنند یا دو مثلث کوچکتر را طوری کنار هم قرار دهند تا شکلی شبیه مثلث بزرگتر ساخته شود.

 

ممکن است در هر گروه دانش آموزان نقاط دیگری از ضلع بالایی مستطیل را برای رسم مثلث ها انتخاب کنند. اما به هر حال هر دانش آموز باید این نکته را متوجه شود که مساحت مثلث بزرگتر برابر با نصف مساحت مستطیل اولیه است. نکته مهم تر این است که اعضای هر گروه درک کنند که محل قرار گرفتن راس بالایی مثلث روی ضلع مستطیل، تأثیری در این موضوع ندارد.

برای آنکه به آن ها فرصت بیشتری برای تجربه این موضوع بدهید، از آن ها بخواهید فعالیت کامپیوتری "مساحت مثلث ها" را انجام دهند.

فعالیت کامپیوتری "مساحت مثلث ها"

دانش آموزان باید بفهمند که اگر چه شکل مثلث ممکن است تغییر کند، ولی قاعده، ارتفاع و مساحت آن تغییری نمی کند. برای تاکید بر این موضوع، از آن ها بخواهید تا نقطه B را آنقدر جابه جا کنند که نقطه D درست بر روی نقطه A قرار بگیرد. همان طور که در تصویر می بینید، این کار یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس A بوجود می آورد. حالا از آن ها بخواهید تا نقطه B را دوباره آنقدر جابه جا کنند که نقطه D روی نقطه C قرار بگیرد. این کار هم یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس C به وجود می آورد. دانش آموزان به سرعت متوجه می شوند که این مثلث ها متجانس اند، پس مساحت های یکسان خواهند داشت.

 

در مورد نتایج در کلاس بحث کنید. از دانش آموزان بپرسید مساحت هر مثلث چه ارتباطی با مساحت شکل اولیه دارد؟ آن ها باید فهمیده باشند که در هر مورد، مساحت مثلث برابر با یک دوم مساحت مستطیل است. (در اینجاممکن است بخواهید فرمول  S=1/2bh را به دانش آموزان بگویید، ولی اگر به آن ها فرصت دهید تا خودشان فرمول را با استفاده از فعالیت بعدی و بحث های متوالی آن به دست آورند، ارزش بیشتری خواهد داشت.)

 

برگه ی فعالیت "مثلث های غیرمشخص" را در کلاس پخش کنید. در این پلی کپی اندازه های دو مثلث داده شده است. از دانش آموزان بخواهید تا مساحت مثلث ها را به دست آورند. به آن ها اجازه دهید تا مساحت ها را از هر روشی که می خواهند به دست آورند، ولی آن ها را به استفاده از آنچه به تازگی در مورد مساحت یافته اند تشویق کنید.

 

برگه فعالیت مثلث های غیرمشخص

دانش آموزان احتمالاً متوجه می شوند که اولین مثلث، یک مثلث قائم الزاویه است، پس مساحت آن یک دوم مساحت مستطیلی است که از روی قطرش به دو قسمت تقسیم شده است. اما ممکن است در مورد مثلث دوم، درک این موضوع که مساحت آن برابر با نصف مساحت مستطیلی به ابعاد 4×3 است، برای آن ها مشکل باشد. در حین این که بچه ها کار می کنند، در کلاس بگردید و با پرسش های خود، آن ها را در رسیدن به این نتیجه راهنمایی کنید.

 

از دانش آموزان بخواهید فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث کشف کنند. از آن ها بخواهید تا دلایل خود را توضیح دهند و ثابت کنند که فرمولشان درست عمل می کند. برای هدایت آن ها می توانید چنین پرسش هایی را طرح کنید: "مساحت یک مثلث چه ارتباطی با مساحت مستطیل دارد؟ " و "فرمول مساحت مستطیل چیست؟" مراقب باشید تا پرسش هایتان را خیلی زود نپرسید و تعدادشان هم زیاد نباشد، چرا که یادگیری در صورتی که بچه ها خودشان فرمول را به وجود آورند، بسیار مؤثرتر است.

 

پرسش هایی برای دانش آموزان

*آیا مساحت دو مثلث با ارتفاع های مساوی، با هم برابر است؟ اگر بله، چرا و اگر نه چرا ؟ چند مثال بزنید.

پاسخ:(مساحت دو مثلث که ارتفاع برابر دارند، تنها در صورتی مساوی خواهد بود که دارای قاعده های مساوی نیز باشند. دو مثلث را که ارتفاع هر دو  4cm است، در نظر بگیرید: اگر قاعده یکی از آنها 3cm باشد، مساحت آن A = ½ × 3 × 4 = 6 خواهد بود و اگر قاعده مثلث دیگر 5cm باشد، مساحت آن A = ½ × 5 × 4 = 10 است. روشن است که مساحت ها برابر نیستند. از سوی دیگر، دو مثلث زیر مساحت های  یکسان دارند، زیرا اندازه ارتفاع و قاعده آن ها با هم مساوی است و متفاوت بودن شکل آن ها در مساحت شان تأثیری ندارد.)

 

*برای بچه ها توضیح دهید که چگونه می توان از شکل های دیگری به جز مربع و مستطیل، برای به دست آوردن فرمول مساحت مثلث استفاده کرد.

پاسخ: (فرمول مساحت متوازی الاضلاع A=b*h است، که شبیه به همان فرمول مساحت مستطیل است. با دو قسمت کردن یک متوازی الاضلاع از روی قطر آن، دو مثلث متجانس تشکیل می شود که ما را به همان نتیجه قبلی می رساند. یعنی فرمول مساحت مثلث A=1/2bh خواهد بود.)

 

ارزشیابی

مثلث برمودا ناحیه ای مثلث شکل است که در محدوده بین سَن جوان در پرتوریکو ، میامی در فلوریدا، و برمودا واقع شده است. با استفاده از یک نقشه، دانش آموزان باید ابعاد مثلث برمودا را اندازه بگیرند و با کمک مقیاسی که نقشه دارد، مساحت واقعی مثلث برمودا را حساب کنند.

شما می توانید از اسلاید "نقشه مثلث برمودا" برای نشان دادن این ناحیه به دانش آموزان استفاده کنید.

از دانش آموزان بخواهید تا به گروههای دو نفره تقسیم شوند و هر کدام مثلث هایی را از کاغذ ببرند و به هم گروه خود بدهند تا مساحت مثلث ها را حساب کند. هر دانش آموز باید پاسخهای دیگری را کنترل کند و با یکدیگر به برطرف کردن اختلافات بپردازند.

 

توسعه

دانش آموزان باید با استفاده از اینترنت، در مورد تاریخچه و ابعاد مثلث برمودا تحقیق کنند و گزارشی از یافته های خود را در کلاس ارائه دهند. برخی پرسش ها که می توانید از بچه ها بپرسید، عبارتند از:

• آیا مثلث برمودا واقعا یک مثلث است؟ اگر نه، شکل حقیقی آن چیست؟ چرا؟ اگر مثلث نیست، آیا می توانید مساحت کل آن منطقه ای را که مثلث برمودا پوشانده است تخمین بزنید؟
• آیا فکر می کنید که مثلث برمودا یک "مرکز" دارد؟ از کجا می توانید بفهمید؟
•  

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

آیا دانش آموزان برای یافتن مساحت مثلث های خود، از روش های دیگری استفاده کردند؟ اگر چنین بود، شما با توضیح آن ها چگونه برخورد کردید؟

دانش آموزان از چه راه های دیگری نشان دادند که فعالانه مجذوب فرآیند یادگیری شده اند؟

آیا بچه ها درک و دریافت خود را از اینکه چرا و چگونه فرمول S=1/2bh را به کار می بریم، نشان دادند؟

آیا هنگامی که از آنان خواستید تا درستی کار یکدیگر را بررسی کنند، هیچ برخورد منفی یا مثبتی مشاهده کردید؟

آیا در هنگام تدریس ایجاد هیچ تغییری را لازم دانستید؟ اگر بله، در کجا و چگونه این تغییر باید انجام شود؟

 

 

طرح درس رياضي دوم راهنمايي

 

به‌نام‌خدا

نام درس: رياضي مقطع تحصيلي: دوم راهنمايي زمان تدريس: هر قسمت 20 دقيقه

موضوع درس: مساحت (مربع، مستطيل، متوازي‌الاضلاع، مثلث) (لوزي، ذوزنقه)

كلي: 1- فراگيران با روش محاسبه ي مساحت چهار ضلعي ها آشنا مي‌ شوند. ۲- فراگيران با واحد اندازه‌ گيري مساحت آشنا مي‌ شوند. ۳- فراگيران با شيوه‌ ي حل مسائل مربوط به مساحت چهارضلعي‌ ها و مثلث آشنا مي‌11- شوند.
ديني: يا دانا باش يا جوياي دانايي وگرنه هلاك شوي. مولا علي (ع) 1- فراگيران با اهميت دانش و دانايي در زندگي آشنا مي‌شوند.
رفتاري: 1- فراگيران بتوانند مساحت شكل‌ ها را به كمك مساحت‌ ياب اندازه‌ گيري كنند. ۲- فراگيران بتوانند مساحت به‌ دست آمده را با واحد سطح بيان كنند. ۳- فراگيران با همكاري اعضاي گروه بتوانند يك مستطيل را به يك متوازي‌ الاضلاع تبديل كنند.  به‌ طور كلي فراگيران با همكاري اعضاي گروه بتوانند يك شكل (چهارضلعي) را به شكل ديگر تبديل كنند و قانون ابقاي مساحت را توضيح دهند. ۴- فراگيران براي يافتن دستور مساحت شكل‌ها با هم مشورت مي نمايند. ۵- فراگيران با همكاري اعضاي گروه در رابطه با درس پرسش هايي را مطرح مي كنند. ۶- فراگير با راهنمايي معلم و كمك اعضاي گروه پاسخ سؤالات مطرح شده را پيدا مي‌ كند.
كتاب، تخته‌سياه، گچ سفيد و رنگي، مقواي سفيد و رنگي، قيچي، چسب، تخته ماهوتي		وسايل و رسانه‌ها
تلفيقي (يادگيري ـ مشاركتي، پرسش و پاسخ، توضيحي)		روش تدريس
يادآوري درس گذشته: (چهارضلعي‌ها) ابتدا سؤالاتي درباره‌ي چهارضلعي‌ها مي‌پرسم و به كمك پرسش‌هاي مطرح شده خاصيت‌هاي چهارضلعي‌هاي مهم را يادآوري مي‌كنم.		ارزشيابي تشخيصي
مي‌خواهيم كف نمازخانه‌ي مدرسه را موكت كنيم. براي آنكه بفهميم چقدر موكت نياز داريم چه كنيم؟ دانش‌آموزان پاسخ مي‌‌دهند: (مساحت نمازخانه را محاسبه كنيم.)   يك نقاش ديوارهاي خانه را رنگ كرده و به ازاي هر مترمربع ديوار مبلغ معيني از ما پول خواسته. براي آنكه مطمئن شويم مبلغي كه در پايان كار از ما خواهد گرفت، درست است چه كنيم؟ دانش‌آموزان پاسخ مي‌دهند: (مساحت ديوارهاي خانه را محاسبه كنيم.)		آماده‌سازي
فعاليت‌دانش‌آموزان	فعاليت‌ معلم
فراگيران انجام مي‌دهند.	به چهارضلعي‌هايي كه در اختيار داريد توجه كنيد و محيط چهارضلعي‌ها را به من نشان دهيد.
فراگيران پاسخ مي‌دهند: دور تا دور شكل.	محيط يعني كجاي شكل؟
فراگيران انجام مي‌دهند.	حالا مساحت شكل را به من نشان دهيد.
فراگيران پاسخ مي‌دهند: سطح شكل، رويه‌ي شكل	مساحت يعني كجاي شكل؟
دانش‌آموزان توجه مي‌كنند.	پس از يادآوري واحد طول و اجزاي آن به‌كمك مساحت‌ياب واحد مساحت را معرفي مي‌كنم.
فراگيران مساحت مربع و مستطيل را به‌دست مي‌آورند.	مساحت مستطيل و مربعي كه در اختيار داريد به كمك مساحت‌ياب به‌دست آوريد.
فراگيران پاسخ مي‌دهند.	طول مستطيل چند سانتي‌متر است؟
فراگيران پاسخ مي‌دهند.	عرض مستطيل چند سانتي‌متر است؟
فراگيران پاسخ مي‌دهند: عرض * طول = مساحت مستطيل	با توجه به مساحت مستطيل كه حساب كرده بوديد مي‌توانيد دستور به دست‌ آوردن مستطيل را بگوييد.
فراگيران پاسخ مي‌دهند.	ضلع مربع چند سانتي‌متر است؟
مجذور يك ضلع = مساحت مربع	با توجه به مساحت مربع كه محاسبه كرده بوديد مي‌توانيد دستور به‌دست آوردن مربع را بگوييد.
فراگيران انجام مي‌دهند.	روي هر مستطيل يك خط كشيده‌ايم. اين قسمت را قيچي كنيد و يك متوازي‌الاضلاع بسازيد.
فراگيران پاسخ مي‌دهند: (قاعده)	طول مستطيل كجاي اين متوازي‌الاضلاع است؟
فراگيران پاسخ مي‌دهند: (ارتفاع)	به‌كمك دستور محاسبه مستطيل مي‌توانيد مساحت متوازي‌الاضلاع را به‌دست آوريد. اين قسمت را پاي تخته مي‌نويسم. S = S قاعده متوازي‌الاضلاع = طول مستطيل ارتفاع * قاعده = S ارتفاع متوازي‌الاضلاع = عرض مستطيل
دانش‌آموزان شكل‌ها را قيچي مي‌كنند و شكل جديد را مي‌سازند و به كمك مساحت متوازي‌الاضلاع روش محاسبه‌ي مساحت مثلث و لوزي و ذوزنقه را به‌دست مي‌آورند.	به كمك متوازي‌الاضلاع مساحت مثلث و به كمك متوازي‌الاضلاع مساحت لوزي و به كمك دو ذوزنقه اول يك متوازي‌الاضلاع مي‌سازيم و به كمك آن مساحت ذوزنقه را محاسبه مي‌كنيم.
خلاصه مطالب مطرح‌شده با مشاركت گروه‌ها بيان مي‌شود.		جمع‌بندي مطالب
براي اين بخش 1 يا 2 سؤال مطرح مي‌كنيم. (بستگي به زمان) براي گروه‌هايي كه پاسخ درست را مي‌گويند به‌عنوان تشويق يك علامت مثبت و در صورتي كه فقط يك گروه يا فقط يك نفر به سؤال پاسخ دهد، علاوه بر علامت مثبت يك كارت امتياز داده مي‌شود. 1- مساحت ذوزنقه‌ ي مقابل را به دست آوريد.		ارزشيابي تكويني
پس از تدريس مساحت (مربع، مستطيل و متوازي‌الاضلاع و مثلث) كار در كلاس صفحه‌ي 171 و 173 توسط دانش‌آموزان در كلاس حل مي‌شود.  پس از تدريس مساحت (لوزي و ذوزنقه) كار در كلاس صفحه‌ي 177 توسط دانش‌آموزان در كلاس حل مي‌شود.  مسئله‌هاي صفحه‌ي 180 به‌عنوان تكليف منزل تعيين مي‌شود. توضيح: مساحت‌ياب را مي‌توانيم از جنس مقوا يا از جنس طلق شفاف بسازيم به اين ترتيب كه يك طلق شفاف را به مربع‌هاي يك سانتي‌متري تقسيم مي‌كنيم. مي‌توان اين كار را قبل از تدريس مساحت به‌عنوان انجام كار عملي از دانش‌آموزان خواست. مانند نمونه‌ي زير:		تعيين تكليف

 

جدول ( تهيه شده توسط خسروي دانش آموز كلاس سوم )

جدول علائم ریاضی به ترتیب تاریخ اختراع

جدول زیر بسیاری از علائم متداول در ریاضیات را به ترتیب تاریخ اختراع یا تاریخ استفاده مرتب کرده‌است.

ادامه نوشته

روش هاي فعال يادگيري ( برگرفته از سايت آموزش وپرورش ‍)

وزارت آموزش و پرورش

معاونت آموزش و نوآوري

دفتر آموزش و پرورش راهنمايي تحصيلي

نگاهي برروش هاي فعال ياددهي- يادگيري(5)

يادگيري مبتني برحل مسئله

كارشناسي برنامه ريزي گرو ههاي آموزشي

كميسيون كيفيت بخشي به فرآيندياددهي- يادگيري                    سال تحصيلي۸۹-۸۸

1

«. باروري دانش به انديشيدن و فهميدن است »

حضرت علي (ع)

«. هدف اصلي تعليم و تربيت پرورش نيروي تفكّر در انسان است »

سقراط

مقدمه

روش تدريس از جمله مولّفه هاي اصلي برنامه ي درسي و از مراحل مهم طرّاحي آموزشي محسوب مي شود. تدريس خوب، به معناي كمك به خود يادگيري دانش آموزان است، به بيان ديگر رو شهاي تدريس، ابزارهاي مفيدي برا يايجاد يادگيري با معنا هستند.

هراندازه معلمان ....... ادامه ي مطلب را كليك كنيد

ادامه نوشته

عددپي (تحقيق دانش آموز حميدرضا آقاخاني)

عدد پی:   از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با     علامت π نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسه‌ی اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

فهرست اعداد – اعداد گنگ ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
دودویی	11.00100100001111110110…
دهدهی	3.14159265358979323846…
دوازده دوازدهی	3,184809493B91864…
شانزدهی	3.243F6A8885A308D31319…
کسر متناوب	Note that this continued fraction is not periodic.

در سال ۱۹۹۸ فیلمی به همین نام یعنی پی ساخته شد.

عدد پی

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از راه تربيع آن يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مي آوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه هر شكل پهلو دار پي ببرند . آن گاه كه محاسبه مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مسئله اي ناشدني مي نمايد . در هندسه اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر آن عدد ثابتي است . و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم آن بدست مي ايد و مسئله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه در ازاي آن با آن مقدار ثابت برابر باشد  رسم اين خط ناشدني است .سرانجام راه چاره را در آن ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي آن مقدار ثابت بدست آورند .

     ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست آورد كه ساليان دراز آن را به كار مي بردند .پس از آن و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود سه ده ميليونم است . 

     رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست آورد كه تا شانزده رقم پس از مميز دقيق بود  اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار دوبرابر π راتا شانزده رقم اعشار در رساله محيطيه برابر 6.2831853071795865  بدست آورد . 

     در جمله ي زير هرگاه تعداد حرف هاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز  بدست خواهد آمد : 

     خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ره سر منزل مقصود به ما آموزد . 

حال امروزه در محافل بین المللی و مجامع ریاضی دوست روز سوم ماه مارس هر سال را به عنوان روز عدد پی در نظر میگیرند.(3/14 این تاریخ روز سوم مارس هست که همان مقدار عدد پی نیز میباشد.به این دلیل سوم مارس شده روز پی).در این روز برنامه های متنوعی اجرا میشود . از قبیل مسابقات ریاضی و مسابقه سیب خوری و... . 

بیشتر بدانید:

و اما یک نکته. ایا شده تا بحال از خودتون بپرسید که این پی 3.14 هست یا 180 درجه .خوب جریان 3.14 رو که خوندین.حالا نوبت به 180 میرسه .میدونید که محیط دایره 360 درجه هست .حال اگر ما بر روی محیط دایره (شعاع دایره یک سانتیمتر باشد)هر یک سانتیمتر را جدا کنیم مشاهده میشود دایره به 6.28 قسمت تقسیم میشه .اونوقت نصف دایره میشه 3.14 قسمت که 180 درجه هست.

عدد پی از قدیمی‌ترین اعداد است. مصریان و یونانیان باستان می‌دانستند که محیط

یک دایره با قطر آن نسبت ثابتی دارد که تقريباً برابر 3 فرض می‌کردند. اين عدد ( با نه

رقم اعشار ) برابر 3.141592654 مي باشد.اين عدد از اعداد گنگ و حقيقي مي

باشد.مقدار تقریبی عدد پي از كسر 355 تقسيم بر 113 گرفته شده است.

·         تاریخچه

·         تقریب اعشاری عدد پی

·         همچنین ببینید

·         پیوندهای خارجی

عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو آن را با نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.

بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کردند.( d قطر دایره در نظر گرفته می‌شد )که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست می‌آید.

---

تقریب اعشاری عدد پی

اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم
محیطیو یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
این فرمول به صورت زیر است:

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.

 

پیوندهای خارجی

  مهندسان هخامنشي راز استفاده از عدد پي (۱۴/۳ ) را دو هزار و 500 سال پيش كشف كرده بودند. آنها در ساخت سازه هاي سنگي و ستون هاي مجموعه تخت جمشيد كه داراي اشكال مخروطي است، از اين عدد استفاده مي كردند.
عدد پي  ۳/۱۴در علم رياضيات از مجموعه اعداد طبيعي محسوب مي شود. اين عدد از تقسيم محيط دايره بر قطر آن به دست مي آيد. كشف عدد پي جزو مهمترين كشفيات در رياضيات است. كارشناسان رياضي هنوز نتوانسته اند زمان مشخصي براي شروع استفاده از اين عدد پيش بيني كنند. عده زيادي، مصريان و برخي ديگر، يونانيان باستان را كاشفان اين عدد مي دانستند اما بررسي هاي جديد نشان مي دهد هخامنشيان هم با اين عدد آشنا بودند.
«عبدالعظيم شاه كرمي» متخصص سازه و ژئوفيزيك و مسئول بررسي هاي مهندسي در مجموعه تخت جمشيد در اين باره،‌ گفت: «بررسي هاي كارشناسي كه روي سازه هاي تخت جمشيد به ويژه روي ستون هاي تخت جمشيد و اشكال مخروطي انجام گرفته؛ نشان مي دهد كه هخامنشيان دو هزار و 500 سال پيش از دانشمندان رياضي دان استفاده مي كردند كه به خوبي با رياضيات محض و مهندسي آشنا بودند. آنان براي ساخت حجم هاي مخروطي راز عدد پي را شناسايي كرده بودند.»
دقت و ظرافت در ساخت ستون هاي دايره اي تخت جمشيد نشان مي دهد كه مهندسان اين سازه عدد پي را تا چندين رقم اعشار محاسبه كرده بودند. شاه كرمي در اين باره گفت: «مهندسان هخامنشي ابتدا مقاطع دايره اي را به چندين بخش مساوي تقسيم مي كردند. سپس در داخل هر قسمت تقسيم شده، هلالي معكوس را رسم مي كردند. اين كار آنها را قادر مي ساخت كه مقاطع بسيار دقيق ستون هاي دايره اي را به دست بياورند. محاسبات اخير، مهندسان سازه تخت جمشيد را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها،‌ فشاري كه بايد ستون ها تحمل كنند و توزيع تنش در مقاطع ستون ها ياري مي كرد. اين مهندسان براي به دست آوردن مقاطع دقيق ستون ها مجبور بودند عدد پي را تا چند رقم اعشار محاسبه كنند.»
هم اكنون دانشمندان در بزرگ ترين مراكز علمي و مهندسي جهان چون «ناسا» براي ساخت فضاپيماها و استفاده از اشكال مخروطي توانسته اند عدد پي را تا چند صد رقم اعشار حساب كنند. بر اساس متون تاريخ و رياضيات نخستين كسي كه توانست به طور دقيق عدد پي را محاسبه كند، «غياث الدين محمد كاشاني» بود. اين دانشمند اسلامي عددپي را تا چند رقم اعشاري محاسبه كرد. پس از او دانشمنداني چون پاسكال به محاسبه دقيق تر اين عدد پرداختند. هم اكنون دانشمندان با استفاده از رايانه هاي بسيار پيشرفته به محاسبه اين عدد مي پردازند.
شاه كرمي با اشاره به اين موضوع كه در بخش هاي مختلف سازه تخت جمشيد، مقاطع مخروطي شامل دايره، بيضي، و سهمي ديده مي شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محيط و ساخت سازه هايي با اين اشكال هندسي بدون شناسايي راز عدد پي و طرز استفاده از آن غيرممكن است.»
داريوش هخامنشي بنيان گذار تخت جمشيد در سال 521 پيش از ميلاد دستور ساخت تخت جمشيد را مي دهد و تا سال 486 بسياري از بناهاي تخت جمشيد را طرح ريزي يا بنيان گذاري مي كند. اين مجموعه باستاني شامل حصارها، كاخ ها،‌ بخش هاي خدماتي و مسكوني، نظام هاي مختلف آبرساني و بخش هاي مختلف ديگري است.
مجموعه تخت جمشيد مهمترين پايتخت مقاومت هخامنشي در استان فارس و در نزديكي شهر شيراز جاي گرفته است.

 

 

تاریخچه اعداد اول

 بعد از دوران یونان باستان، نظریه اعداد در سده شانزدهم و هفدهم با زحمات ویت دو مزیریاک ، دوباره مورد توجه قرار گرفت. در قرن هجدهم اویلر و لاگرانژ به قضیه پرداختند و در همین مواقع لوژاندرو گاوس به آن تعبیر علمی بخشیدند. در ۱۸۰۱ گاوس در مقاله Disquisitiones Arithmeticæ حساب نظریه اعداد مدرن را پایه گذاری کرد.

چبیشف کران‌هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد. ریمان اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی‌کند. (قضیه عدد اول) و آنالیز مختلط را در تئوری تابع زتای ریمان گنجاند. و فرمول صریح تئوری اعداد اول را از صفرهای آن نتیجه گرفت. تئوری همنهشتی از گاوس شروع شد. او علامت‌گذاری زیر را پیشنهاد کرد:

چبیشف در سال ۱۸۴۷ به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره  آن را در فرانسه عمومی کرد. بجای خلاصه کردن کارهای قبلی، لوژاندر قانون تقابل درجهٔ دوم را گذاشت. این قانون از استقراء کشف شد و قبلاً اویلر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در کتاب تئوری اعداد  برای حالت‌های خاص آن را ثابت کرد. جدا از کارهای اویلر و لوژاندر، گاوس این قانون را در سال ۱۷۹۵ کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد. کوشی ؛ دیریشله او یک مقاله کلاسیک است؛ جکوبی که علامت جکوبی را معرفی کرد؛ لیوویل ؛ زلر ؛ آیزنشتین ؛ کومر و کرونکر نیز در این زمینه کارهایی کرده‌اند. این تئوری تقابل درجه دوم و سوم را شامل می‌شود (گاوس؛ جکوبی که اولین بار قانون تقابل درجه سوم را ثابت کرد ؛ و کومر).

 نمایش اعداد با صورت درجه دوم دوتایی مدیون گاوس است. کوشی، پوانسو لوبکو بخصوص هرمیت به موضوع چیزهایی افزوده اند. آیزنشتاین در تئوری صورت‌های سه‌گانه پیشتاز است، و تئوری فرم‌ها به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیت است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت‌های درجه دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود. جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد.

 دیریشله اولین کسی بود که در یک دانشگاه آلمانی در این مورد سخنرانی کرد. او در مورد بسط قضیه اویلر که می گوید:

 که اویلر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.

 بین نویسندگان فرانسوی بورل و پوانکاره ذهن قوی داشتند و تانری و استیلجزکرونکر، کومر، شرینگ ، باخمن و ددکیند آلمانی‌های پیشتاز هستند. در اتریش مقاله استلز   و در انگلستان تئوری اعداد ماتیو (قسمت اول، 1892) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند. جنوچی، سیلوستر و جی. گلیشرr به این تئوری چیزهایی افزوده‌اند .

 

ریاضی دانان

1.     ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس»  را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.

- حدوداْ در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه
  اسکندریه گذراند.

- درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس)
  در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و نیز تمرکز ذهنی بسیار
  قوی بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر می شد- و همین بی خبری بالاخره
  باعث مرگ او شد.

- ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدی، دو مقاله
  درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه)  درباره ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک
  رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می دهد.
  این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد.

- مقاله های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله های
  امروزی شباهت دارند.

- او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
  او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعیهای
  محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می رسیم.

- ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث
  برحسب سه ضلع آن است.

- او در رساله ای درباره مقدار تقریبی دانه های شنی که کره ای به مرکز زمین و به شعاع زمین تا
  خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.

- در رساله دیگری سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به وسیله
  هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهای این معادله عددی است با
  بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!

2.     آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهای یونانی بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکلهای هندسی داده شده است.

3.     دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند.

4.     پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.