تاریخچه ی هندسه

تاریخچه هندسه

واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

· هنـدسه مسطحه

· هندسه فضایی

در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.
در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

· هندسه تحلیلی

· هندسه برداری

· هندسه دیفرانسیل

· هندسه جبری

· هندسه محاسباتی

· هندسه اعداد صحیح

· هندسه اقلیدسی

· هندسه نااقلیدسی

· هندسه تصویری

· هندسه ریمانی

· هندسه ناجابجایی

· هندسه هذلولوی

تاریخچه هندسه

کلاس‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

· هنـدسه مسطحه

· هندسه فضایی

در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

· هندسه تحلیلی

· هندسه برداری

· هندسه دیفرانسیل

· هندسه جبری

· هندسه محاسباتی

· هندسه اعداد صحیح

· هندسه اقلیدسی

· هندسه نااقلیدسی

· هندسه تصویری

· هندسه ریمانی

· هندسه ناجابجایی

· هندسه هذلولوی

مقدمه :

بيشتر مردم نمي دانند كه در حدود يك سده و نيم پيش انقلابي در زمينه ي هندسه روي داد . كه از لحاظ علمي به عمق انقلاب كوپرنيكي در نجوم ، و از جنبه ي نتايج فلسفي به اهميت نگره ي تكاملي داروين بود.

كاكستر ، هندسه دان كانادايي مي نويسد : "در تأثير كشف هندسه ي هذلولوي در تصوري كه از حقيقت و واقعيت داريم آنچنان عميق بوده است .كه به شواهدي مي توانيم تصور كنيم كه امكان وجود هندسه اي غير از اقليدسي تا چه اندازه در سال 1825 تكان دهنده جلوه كرده است ." اما همه ما امروزه نام هندسه ي فضا – زمان نگره ي نيست انيشتين را شنيده ايم . " در واقع ، هندسه پيوستار فضا – زمان به حدي به هندسه ي نااقليدسي وابسته است . كه آگاهي از اين هندسه ها شرط لازم براي درك كامل جهان شناسي نسبيت است ."

هندسه اقليدسي ، همان هندسه اي كه شما در دبيرستان خوانده ايد ، هندسه اي است كه بيشتر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم . اين هندسه از كتابي به نام اصول 3 به دست ما رسيده كه توسط اقليدس ، رياضيدان يوناني در حدود 300 سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است .

بحث از برخي نقايص در نحوه ي ارائه هندسه به توسط اقليدس آغاز شده ، و اين نقايص با ارائه كامل بنداشت هاي داويد هيلبرت ( با اندكي تغيير ) و نتايج اوليه آنها بر طرف شده اند . ممكن است هنگام اثبات نتايجي كه خودبه خود بديهي به نظر مي رسند بي حوصله شويد.

بر اثر اين مطالعات شيوه تفكر اقليدسي شما چنان تكان مي خورد مي توانيم " دنياي شگرف تازه اي " را كشف كنيم ، دنيايي را كه در آن مثلث ها مجموع زواياي " نادرست" دارند ، مستطيل وجود ندارد ، خطوط موازي ممكن است واگرا و يا به طور مجانبي همگرا باشند . در ضمن اين كار داستان هيجان انگيز تاريخي اكتشاف تقريباً همزمان هندسه ي هذلولوي توسط گاوس بويوئي ولوباچفسكي ، در اوايل سده ي نوزدهم را ورق خواهيم زد .

اين هندسه به همان سازگاري هندسه اقليدسي است . اين نكته را به هنگام سه الگوي اقليدسي كه در تجسم هندسه ي هذلولوي نيز ما را ياري مي كند اثبات خواهيم كرد . الگوي پوانكاره اين برتري را دارند كه در آنها زوايا به روش اقليدسي اندازه گرفته مي شود . برتري الگوي بلترامي – كلاين در نمايش خطوط توسط پاره خط هاي اقليدسي است .

هندسه ي اقليدس: منشأ هندسه

واژه " ژئومتري " در دو واژه يوناني : ژئو ، به معني زمين و متراين ، به معني اندازه گيري آمده است ؛ هندسه در اصل علم اندازه گيري زمين بوده است . هرودت ، مورخ يوناني ( سده 5 قبل از ميلاد) ، پيدايش هندسه را به مساحان مصري نسبت مي دهد . ولي تمدن هاي كهن ديگر ( بابلي ، هندي، چيني ) هم اطلاعات هندسي زياد داشته اند . هندسه ي پيشينيان در واقع گردآورده اي از روش هاي " قاعده ي سرانگشتي " بود كه از راه آزمايش ، بررسي شباهت ها ، حدس ها وشهودهاي اتفاقي ، دست يافتن به آنها ميسر شده بود .

خلاصه ، هندسه موضوعي تجربي بود كه جواب هاي تقريبي آن معمولاً براي مقاصد عملي كافي بودند . بابلي هاي 2000 تا 16000 سال پيش از ميلاد مسيح محيط دايره را 3 برابر قطرش مي گرفتند . يعني π را مساوي 3 اختيار مي كردند اين همان مقداري است كه ويترووروس معمار رومي به آن داده بود و در نوشته هاي چيني همان مقدار پيدا شده است حتي يهوديان باستان اين مقدار را مقدس مي شمردند و مي پنداشتند كه كتاب مقدس آن را ثبت كرده است . حدس هاي مصريان در پاره اي ازموارد درست و در پاره اي ديگر نادرست بودند .

يكي از كارهاي برجسته آنان پيدا كردن دستور صحيح براي حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است . از سوي ديگر ، چنين مي پنداشتند كه دستوري كه براي مساحت مستطيل صحيح است براي هر چهار ضلعي نامشخص نيز مي تواند صحيح باشد . هندسه ي مصري به معني يوناني كلمه ، علم نبود بلكه صرفاً انباني بود پر از قواعد محاسبه ، بي هيچ موجبي يا توجيهي .

يابليان در حساب و جبر خيلي از مصريان پيشرفته تر بودند . وانگهي ، قضيه ي فيثاغورث را كه در هر مثلث قائم الزاويه مربع طول وتر مساوي با مجموع مربعات طول هاي دو ضلع ديگر است خيلي پيش از آنكه فيثاغورث به دنيا بيايد مي دانستند . تحقيقات اخير اتونويگه با وئر تأثير جبر بابليان بر رياضيات يوناني را كه قبلاً نادانسته بود مكشوف ساخته است . يونانيان و پيش از همه تالس ملطي ، اصرار مي ورزيدند كه احكام هندسي بايد از راه استدلال قياسي ثابت شوند نه از راه آزمايش و خطا . طالس با محاسبات قسمتي درست و قسمتي نادرست كه از رياضيات بابلي و مصري درست بود آشنايي بود . دي ضمن كوشش براي تميز نتايج درست از نادرست ، نخستين هندسه منطقي را بنياد نهاد .

استخراج منظم قضايا از راه اثبات ، از مشخصات رياضيات يوناني و كاملاً تازه بوده است .

نظام بخشي و تابع اصول سازي كه با طالس آغاز شده يود ، مدت دو سده توسط فيثاغورث و شاگردانش ادامه يافت . ماصران فيثاغورث در او به ديده ي پيامبري ديني مي نگريستند . او به ابديت روح و تناسخ معتقد بود . او از پيروان خود يك " جمعيت برادري تشكيل داد كه آداب تهذيب و تزكيه اي خاص خود داشت ، و پيرو عقايد گياهخواري و اشتراك اموال بود . تمايز فيثاغورث از ديگر گروه هاي مذبي در اين بود كه آنان اعتلاي روح و يگانگي با خدا را از راه مطالعه ي موسيقي و رياضي ميسر مي دانستند و در موسيقي ، فيثاغورث نسبتهاي صحيح فواصل ها رمونيك را حساب كرد در رياضيات مرموز و شگفت انگيز اعداد را تعليم مي داد.

چهار اصل اول اقليدس :

اقليدس هندسه خود را بر اساس پنج فرض بنيادي به نام داشت يا اصل موضوع بنا نهاد .

اصل اول اقليدس : به ازاي هر نقطه Pو هر نقطه Q كه با P مساوي نباشد خط يكتايي مانند I وجود دارد كه بر P و Q مي گذرد . اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي شود : هر دو نقطه يك خط منحصر به فرد را مشخص مي سازد . ما يگانه خط ماربر نقاط P و Q را با PQ نشان مي دهيم .

اصل دوم اقليدس :

به ازاي هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطه منحصر به فردي چون E وجود دارد .

پاره خط AB

خط AB

چنان كه B ميان A وE واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE قابل انطباق است .

═BE CD

اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي شود : " هر پاره خط AB را مي توان به اندازه ي پاره خط BE كه با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است . امتداد داد " توجه كنيد كه در اين اصل ما اصطلاح تعريف نشده " قابل انطباق " را به روش تازه مذكور در بالا به كار برديم و براي بيان اين امر كه CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول ═BE CD استفاده كنيم .

اصل سوم اقليدس :

به ازاي هر نقطه O و هر نقطه A كه با O مساوي نباشد دايره اي به مركز O و به شعاع OA وجود دارد .

در حقيقت چون ما زبان مجموعه ها را بيشتر از زبان اقليدس به كار مي بريم . واقعاً لزومي به فرض اين اصل نيست اين اصل نتيجه اي از نگره ي مجموعه ها كه مي گويد : " مجموعه ها نقطه هاي بي نظير P وجود دارد . چنان كه براي آنها ═OP OA . اقليدس در ذهن خود به ترسيم دايره ي به مركز O و به شعاع OA مي انديشيد. و اين اصل به ما مي گويد كه چنين ترسيمي ، مثلاً با پرگار ، مجاز است . همچنين ، در اصل دوم شما مجازيد پاره خط AB را به كمك رسم پاره خط BE با يك خط كش نامدرج امتداد دهيد . اين نحوه ي بيان ما موجب پيرايش اثر اقليدس از هرگونه ارجاع به ترسيم مي شود .

اصل چهارم اقليدس :

همه ي زواياي قائمه با يكديگر قابل انطباق اند . اين اصل مبين نوعي همگني است هر چند دو زاويه ي قائمه ممكن است از همديگر " بسيار دور " باشند با وجود اين يك اندازه دارند . لذا اين اصل معياري طبيعي براي اندازه گيري زاويه ها در اختيار ما مي گذارد .

هندسه هذلولوي :

اساساً هندسه ي نااقليدسي چيست ؟ به زبان علمي ، هر هندسه اي غير از هندسه ي اقليدسي را هندسه ي نااقليدسي گوييم ، و از اينگونه هندسه ها تاكنون زياد شناخته شده اند . ما توجه خود را به آن هندسه ي خاصي كه به توسط گاوس بويوئي و لوباچفسكي كشف شده ، و امروزه هندسه ي هذلولوي ناميده مي شود، محدود مي سازيم .

هندسه هذلولوي ، بنا بر تعريف هندسه اي است كه شما با قبول همه ي بنداشت هاي هندسه ي نتاري به دست مي آوريد . و به جاي اصل توازي هيلبرت نقيص آن را كه " بنداشت هذلولوي " ناميده مي شود ، مي گذاريد .

بنداشت هذلولوي:

در هندسه ي هذلولوي يك خط I و يك نقطه P غير واقع بر I وجود دارند چنان كه دست كم دو خط موازي با I از نقطه P مي گذرند . ما اكنون بلافاصله مي توانيم نقص اساسي تلاش لژاندر را در اثبات اصل توازي تمام خط I درون

لم زير( نتيجه مقدماتي ) نخستين نتيجه مهم بنداشت هذلولوي است .

مثلثي وجود دارد كه مجموع زواياي آن از 180 درجه كمتر است .

برهان :

فرض كنيد I يك خط و P نقطه اي غير واقع بر I چنان باشد كه دو موازي با I از P بگذرند ( بنداشت هذلولوي ) يك موازي mرا به روال معمولي با ترسيم عمود PQ برI و رسم m ، عمود بر PQ از P تعيين مي كنيم . فرض كنيد n موازي ديگري باشد كه از P به موازات I كشيده شده وPx نيم خطي از n باشد كه ميان PQ و يك نيم خط Py از m قرار دارد با استفاده از بنداشت ارشميدس مي توانيد نشان دهيد كه نقطه اي مانند RبرI در طرفي از PQ كه yوx در آن قرار دارند ، وجود دارد چنانكه ( xpy >< ( 0 ( QRP > ) .

به علاوه ، PR در درون QPX > واقع است . زيرا كه در غير اين صورت PX بايد در درون QPR> واقع مي شود و بنابراين PX و QR را ببرد ، كه متناقض با فرض ماست كه n، L را نمي برد . پس بنا بر قضيه ي ( 0 (RPQ > (از جمع اين دو نامساوي نتيجه مي شود : ⁰ 90<(RPQ > )+ ( QRP > ) يعني مجموع زواياي مثلثQRP Δ كمتر از 180 درجه است .

با استفاده از اين لم ، مي توان يك صورت كلي از بنداشت هذلولوي را ثابت كرد .

اصل توازي در هندسه ي اقليدسي بيا ن مي كند كه به ازاي هر خط I و هر نقطه P خارج آن ، منحصر به يكي بودن خط موازي صادق است . نقيص آن يعني ، بنداشت هذلولوي بيان مي كند كه به ازاي يك خط I و يك نقطه چون P نا واقع بر I منحصر به يكي بودن موازي ها درست نيست .

آيا ممكن است منحصر به يكي بودن موازي ها در هندسه ي هذلولوي براي يك I و P بي صادق نباشد ولي براي يك I و P ديگر صادق باشد به نشان خواهيم داد كه اين نشدني است .

فرض کنید دو صفحه و در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی به روی از مرکز مفروض که در یا واقع نیست، می‌توان تصویر هر نقطه از را نقطه‌ای چون از تعریف کرد که و روی یک خط راست گذرنده از قرار داشته باشند.
همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط در واقع صفحه به روی خط دیگری چون در هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده می‌شود.
هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق می‌شود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند.
..........................تصور کردن از یک نقطه......................................................................تصویرگری موازی

به بعضی از ویژگیهای تصویری فوراً می‌توان پی‌برد. تصویر هر نقطه، یک نقطه است. به علاوه، تصویر هر خط راست، یک خط راست است زیرا اگر خط واقع در به روی صفحه تصویر شود، تقاطع با صفحه گذرنده از و ، خط راست خواهد بود. اگر نقطه و خط راست ملازم هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر و خط متناظر نیز ملازم هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ناورداست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،‌همخطی‌، و همرسی – ویژگیهای تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر) هستند، اندازه‌های طول و زاویه، و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. مثلثهای متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع را می‌توان به مثلثهای مختلف‌الاضلاع تصویر کرد. پس اگر چه «مثلث» مفهومی متعلق به هندسه تصویری است، «مثلث متساوی‌الاضلاع» چنین نیست و فقط به هندسه متری تعلق دارد.

مقدمه

هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم.

بردارها

برخی از کمیات که اندازه می‌گیریم با اندازه‌شان کاملا مشخص می‌شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می‌دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی‌شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می‌باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی‌آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می‌کنند و طول‌هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می‌کنند. به این کمیات بردار می‌گوییم.
یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می‌شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می‌نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد.
بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت به چهارتایی مرتب . جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی‌الخصوص اولیور هویساید آنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص‌ترین آنها جیمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند.

بردارها درفضا

مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول برداری مانند با دوبار استفاده از قضیه فیثاغورث بدست می‌آید. و جهت آنها از تقسیم مولفه‌های برداری چون A بر اندازه‌اش بدست می‌آید.

معادلات پارامتری حرکت ایده‌آل پرتابه

برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه از مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه می‌سازد. در هر لحظه t ‌، ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد:

مسیر ایده‌آل یک سهمی است.

اغلب ادعا می‌شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می‌جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می‌بینیم که هوا سقوط آب را کند می‌کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می‌شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می‌شود فقط در مورد پرتابه‌های ایده‌آل واقعا درست است. این مطلب را می‌توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است.

خط در فضا

فاصله در فضا

گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل در فضا مشخص باشد برای این کار طول را می‌یابیم که در اینصورت داریم:

وسط پاره خط

مختصات نقطه وسط M پاره‌خطی که دو نقطه را بهم وصل می‌کند متوسط مختصات هستند. برای پی‌بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می‌کند که به این ترتیب تمام مولفه‌های M از نصف مجموع مولفه‌های نظیر به نظیر بدست می‌آید.

زوایای بین خم‌ها

زوایای بین دو خم مشتق‌پذیر در یک نقطه تقاطع آنها عبارت‌اند از زوایای بین خط‌های راس بر آنها در آن نقطه.

معادله‌های خط و پاره‌خط

فرض می‌کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه بگذرد و موازی با بردار باشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند به قسمی که بردار با V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم: این معادلات را پس از ساده ‌کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می‌یابیم که عبارت‌اند از:

وقتی پارامتر t از تا افزایش می‌یابد نقطه دقیقا یکبار خط را می‌پیماید. وقتی t بازه بسته را می‌پیماید، P از نقطه‌ای که در آن t=a تا نقطه‌ای که در آن t=b بر روی یک پاره‌خط جابجا می‌شود.

فاصله یک نقطه از یک خط

برای یافتن نقطه‌ای چون P از خطی مانند L کافی است برای اولین قدم نقطه‌ای مانند Q را روی L در نظر بگیریم که نزدیکترین فاصله را تا P داشته باشد سپس برای قدم دوم لازم است فاصله P تا Q را محاسبه کنیم بدین ترتیب فاصله یک نقطه از خط دیگری را بدست آورده‌ایم.

معادله صفحه

فرض می‌کنیم M معرف صفحه‌ای از فضاست که از نقطه می‌گذردو بر بردار ناصفر عمود است. پس M از مجموعه نقاطی مانند تشکیل می‌شود که به ازای آنها بردار بر N عمود است. یعنی P روی M است اگر و تنها اگر:
با جاگذاری عبارت معادل در تساوی فوق معادله صفحه حاصل می‌شود.

زاویه بین دو صفحه ، فصل مشترک دو صفحه

بنابه تعریف زاویه بین دو صفحه متقاطع ، زاویه حاده‌ای است که دو بردار قائم بر آنها با هم می‌سازند. بنابراین زاویه بین دو صفحه که بردارهای قائم بر دو صفحه‌اند توسط رابطه زیر حاصل می‌شود:

(منظور از | | ، اندازه بردارها می‌باشد.)
برای یافتن معادلات پارامتری فصل مشترک دو صفحه ابتدا برداری موازی با فصل مشترک و سپس نقطه‌ای واقع بر فصل مشترک می‌یابیم. همانطور که می‌دانیم هر بردار که موازی با فصل مشترک دو صفحه باشد با هر دو صفحه مفروض موازی است لذا بر بردارهای قائم بر آن دو صفحه عمود است. بنابراین با یافتن بردار حاصل ضرب خارجی بردارهای عمود بر صفحات می‌توان بردار موازی فصل مشترک را بیابیم. برای یافتن نقطه‌ای روی فصل مشترک باید نقطه‌ای بیابیم که در هر دو صفحه باشد بدین منظور z=0 را در معادلات صفحه قرار می‌دهیم و دستگاه حاصل را نسبت به x , y حل می‌کنیم نقطه حاصل در هر دو صفحه خواهد کرد.

کاربردها

هندسه تحلیلی همانطور که از نامش پیداست به تحلیل و کنجکاوی هندسه و روابط هندسی می‌پردازد و کاربردهای آن در مسیر علوم از جمله فیزیکی - اخترشناسی- هوافضا- حتی شیمی غیرقابل انکار است. همه مطالب ذکر شده فوق مقدمه‌ای است برای بررسی مفصل‌تر حرکت. مبحث بردارها پایه خوبی برای بسط و گسترش حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم آورده است.

تهیه شده توسط دانش آموز رضا یوسفیان

+ نوشته شده در شنبه بیستم آذر ۱۳۸۹ ساعت 20:2 توسط شهریار سعیدی |

ریاضیات

درس شیرین ریاضی